Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+3x(x＞0) x2-3x(x≤0)

（1）作出函數(shù)f（x）的圖象，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求集合M={m|使方程f（x）=m有三個不相等的實數(shù)根}．

Answer 1

考點：函數(shù)圖象的作法,函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)分段函數(shù)圖象分段畫的原則，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）的圖象，進而根據(jù)圖象上升和下降情況，找到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）中圖象可得0＜m＜f(

3

2

)時，方程f（x）=m有三個不相等的實數(shù)根，進而得到滿足條件的集合M．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

-x2+3x(x＞0) x2-3x(x≤0)

的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：(0，

3

2

)，
函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為：(-∞，0)，(

3

2

，+∞)…（6分）
（2）由圖可知，0＜m＜f(

3

2

)時，方程f（x）=m有三個不相等的實數(shù)根，
又f(

3

2

)=-(

3

2

)2+3×

3

2

=

9

4

，
∴0＜m＜

9

4

∴M={m|0＜m＜

9

4

}…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)圖象的作法，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解答的關(guān)鍵．