Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin（ωx）-cos（ωx）+m（ω＞0，x∈R，m是實數(shù)常數(shù)）的圖象上的一個最高點（

π

3

，1），且與點（

π

3

，1）最近的一個最低點是（-

π

6

，-3）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且

AB

•

BC

=

1

2

ac，求函數(shù)f（A）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應用

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應用化簡函數(shù)解析式為f（x）=2sin（ωx-

π

6

）+m，由題意和周期公式可求T，m，ω，從而解得f（x）解析式，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由已知及平面向量數(shù)量積的運算可得accos（π-B）=-

1

2

ac，根據(jù)B的范圍可求B，從而可求2A-

π

6

的范圍，從而求得函數(shù)f（A）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sinωx-cosωx+m，
∴f（x）=2sin（ωx-

π

6

）+m，
∵（

π

3

，1），點（-

π

6

，-3）分別是函數(shù)f（x）圖象上相鄰的最高點和最低點，
∴

T

2

=

π

3

-(-

π

6

)=

π

2

，且m=

1+(-3)

2

=-1，
∴T=π，又ω＞0，于是ω=

2π

T

=2，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，
∴由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z．
（2）∵在△ABC中，

AB

•

BC

=-

1

2

ac，
∴accos（π-B）=-

1

2

ac，
∴cosB=

1

2

，又0＜B＜π，
∴B=

π

3

，于是A+C=

2π

3

，
∵0＜A＜

π

2

，0＜C＜

π

2

，
∴

π

6

＜A＜

π

2

，于是

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(2A-

π

6

)≤1，又f（A）=2sin（2A-

π

6

）-1，
∴0＜f（A）≤1，
∴f（A）的值域為（0，1]．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，平面向量數(shù)量積的運算，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．