Question

5．設(shè)命題p：關(guān)于x的方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有解，命題q：關(guān)于x的方程ax²+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時(shí)的a的范圍，通過(guò)討論p，q的真假，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：若P正確，則由題意，a≠0，
則a²x²+ax-2=（ax+2）（ax-1）=0的解為：$x=\frac{1}{a}$或$x=-\frac{2}{a}$，
原方程在[-1，1]上有解，只需$-1≤\frac{1}{a}≤1$或$-1≤-\frac{2}{a}≤1$，
解得：a∈（-∞，-1]∪[1，+∞）或a∈（-∞，-2]∪[2，+∞）
綜上P真時(shí)，a∈（-∞，-1]∪[1，+∞）；
若q正確，當(dāng)a=0時(shí)，2x+1=0有一個(gè)負(fù)實(shí)根，
當(dāng)a≠0時(shí)，原方程有實(shí)根的充要條件為：△=4-4a≥0，∴a≤1，
設(shè)兩根為x₁，x₂，則${x_1}+{x_2}=-\frac{2}{a}，{x_1}{x_2}=\frac{1}{a}$，
當(dāng)只有一個(gè)負(fù)實(shí)根時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}a≤1\\ \frac{1}{a}＜0\end{array}\right.⇒a＜0$，
當(dāng)有兩個(gè)負(fù)實(shí)根時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}a≤1\\-\frac{2}{a}＜0\\ \frac{1}{a}＞0\end{array}\right.⇒0＜a≤1$，
綜上，q真時(shí)，a≤1；
由p∨q為真，p∧q為假知，p，q一真一假，
當(dāng)p真q假時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}a≤-1或a≥1\\ a＞1\end{array}\right.$∴a＞1，
當(dāng)p假q真時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}-1＜a＜1\\ a≤1\end{array}\right.$∴-1＜a＜1，
∴a的取值范圍為a＞1或-1＜a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論思想，是一道中檔題．