Question

已知函數f(x)=ax--3ln x,其中a為常數.

(1)當函數f(x)的圖象在點處的切線的斜率為1時,求函數f(x)在上的最小值;

(2)若函數f(x)在區(qū)間(0,+∞)上既有極大值又有極小值,求a的取值范圍;

(3)在(1)的條件下,過點P(1,-4)作函數F(x)=x2[f(x)+3lnx-3]圖象的切線,試問這樣的切線有幾條?并求出這些切線方程.

 

Answer 1

【答案】

(1) 1-3ln 2 (2) 0<a< (3) 滿足條件的切線只有一條,其方程為5x+y-1=0.

【解析】

解:(1)由題可知f′=1,解得a=1,

故f(x)=x--3ln x,∴f′(x)=,

由f′(x)=0得x=2或x=1.

于是可得x∈的下表:

		2	(2,3]
f′(x)	-	0	+
f(x)	↘	1-3ln 2	↗

于是可得f(x)min=f(2)=1-3ln 2.

(2)∵f′(x)=a+-= (x>0),

由題可得方程ax2-3x+2=0有兩個不等的正實根,不妨設這兩個根為x1、x2,

則

解得0<a<.

(3)由(1)f(x)=x--3ln x,

故F(x)=x3-3x2-2x(x>0),F′(x)=3x2-6x-2(x>0).

設切點為T(x0,y0),由于點P在函數F(x)的圖象上,

①當切點T不與點P(1,-4)重合,即當x0≠1時,由于切線過點P(1,-4),則=3-6x0-2,

所以-3-2x0+4=(x0-1)(3-6x0-2),

化簡得-3+3x0-1=0,即(x0-1)3=0,

解得x0=1(舍去).

②當切點T與點P(1,-4)重合,即x0=1時,

則切線的斜率k=F′(1)=-5,

于是切線方程為5x+y-1=0.

綜上所述,滿足條件的切線只有一條,

其方程為5x+y-1=0.