如圖,ABCD是邊長(zhǎng)為2a的正方形,ABEF是矩形,且二面角C-AB-F是直二面角,AF=a,G是EF的中點(diǎn),
(1)求證:平面AGC⊥平面BGC;
(2)求GB與平面AGC所成角的正弦值;
(3)求二面角B-AC-G的大。
解法一:(常規(guī)幾何法) (1)證明:正方形ABCD, ∵二面角CABF是直二面角,CB⊥AB,∴CB⊥面ABEF, ∵AG,GB面ABEF,∴CB⊥AG,CB⊥BG,……1分 又AD=2a,AF=a,ABEF是矩形,G是EF的中點(diǎn), ∴AG=BG=,AB=2a,AB2=AG2+BG2, ∴AG⊥BG,……2分 ∵CB∩BG=B,∴AG⊥平面BGC.而AG面AGC, 故平面AGC⊥平面BGC.……4分 (2)解:如圖,由(1)知面AGC⊥面BGC,且交于GC,在平面BGC內(nèi)作BH⊥GC,垂足為H,則BH⊥平面AGC, ∴∠BGH是GB與平面AGC所成的角,……6分 ∴在Rt△BGC中, ,又BG=, ∴.……8分 或 (3)由(2)知,BH⊥面AGC,作BO⊥AC,垂足為O,連結(jié)HO,則HO⊥AC, ∴為二面角B-AC-G的平面角.……10分 在, 在Rt△BOH中, ∴二面角B-AC-G的大小為.……12分 解法二:(向量法) 如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系, 則A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(xiàn)(a,0,0). (1)證明:,, ,……3分 ∴, , ∴AG⊥BG,AG⊥BC,而BG與BC是平面BGC內(nèi)兩相交直線, ∴AG⊥平面BGC,又AG平面AGC, 故平面AGC⊥平面BGC,…………5分 (2),,,, 設(shè)平面AGC的法向量為,GB與平面AGC成的角為, 由,…………………8分 .……………………9分 (3)因是平面AGC的法向量, 又AF⊥平面ABCD,平面ABCD的法向量,得 , ∴ 二面角B-AC-G的大小為.……12分 |
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
AB |
PD |
EF |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
2 | 3 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com