Question

已知函數(shù)f(x)=

4x

x2+1

，函數(shù)g（x）=x²-2ax+a（a∈R）．
（1）若x＞0，求函數(shù)f（x）值域；
（2）若?x₁∈R，?x₂∈[-1，1]使得g（x₂）≤f（x₁），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)x＞0，化簡(jiǎn)表達(dá)式，利用基本不等式直接求函數(shù)f（x）值域；
（2）通過(guò)?x₁∈R，求出f（x）的最小值，通過(guò)?x₂∈[-1，1]求出g（x）的直線，滿足g（x₂）≤f（x₁），只需f_min（x）≤g_min（x），即可求解實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）x＞0，函數(shù)f(x)=

4x

x2+1

=

4

x+ 1 x

，
∵x+

1

x

≥1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)）
∴0＜

4

x+ 1 x

≤

4

2

=2，∴f（x）∈（0，2]．
∴x＞0，函數(shù)f（x）值域：（0，2]．
（2）x＞0，f（x）∈（0，2]．
x＜0，函數(shù)f（x）∈[-2，0），
x=0時(shí)，f（x）=0．
∴x∈R時(shí)，f（x）∈[-2，2]
又gmin(x)=

1+3a       a≤-1 -a2+a    -1＜a＜1 1-a        a≥1

由f_min（x）≤g_min（x）知
當(dāng)a≤-1時(shí)，1+3a≤-2，a≤-1．
當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，-a²+a≤2，a∈R
當(dāng)a≥1時(shí)，1-a≤-2，∴a≥3
綜上得a≤-1或a≥3

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的值域以及基本不等式的綜合應(yīng)用，函數(shù)最值的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．