Question

已知數(shù)列 {a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n²-3n
（1）證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（2）若b_n=a_n•2ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（1）a₁=S₁=-1
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n²-3n-2（n-1）²+3（n-1）=4n-5
又a₁適合上式 a_n=4n-5（n∈N*）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=4n-5-4（n-1）+5=4{a_n}是Ap且d=4，a₁=-1
（2）b_n=（4n-5）•2ⁿ（差比數(shù)列求和）
∴S_n=-2¹+3•2²+…（4n-5）•2ⁿ①
①2S_n=-2²+…+（4n-9）•2ⁿ+（4n-5）•2ⁿ⁺¹②
①-②得-S_n=-2¹+4•2²+…+4•2ⁿ-（4n-5）•2ⁿ⁺¹==-18-（4n-9）•2ⁿ⁺¹
∴S_n=18+（4n-9）•2ⁿ⁺¹
分析：（1）利用數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，利用等差數(shù)列的定義得證．
（2）根據(jù)數(shù)列{b_n}通項(xiàng)的特點(diǎn)：一等差與一等比數(shù)列的乘積得到的新數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求出其和．
點(diǎn)評：求數(shù)列的前n項(xiàng)和問題，一般先判斷數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，根據(jù)其特點(diǎn)選擇合適的求和方法；常見的求和方法有：公式法、分組法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法．