Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過坐標原點，與x軸的另一個交點為（

2

3

，0），且f（

1

3

）=-

1

3

，數(shù)列{a_n} 的前n項的和為S_n，點（n，S_n）在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求數(shù)列{a_n} 的通項公式；
（3）設b_n=

an

2n

，求數(shù)列 {b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由條件列方程組，解之即可；（2）由點（n，S_n）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，可得S_n=3n²-2n，由a_n=S_n-S_n-1可得答案；
（3）由（2）知a_n=6n-5，b_n=

an

2n

=

6n-5

2n

，由錯位相減法求和即可．

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0）…（1分）
由條件可知

f(0)=0 f( 2 3 )=0 f( 1 3 )=- 1 3

，…（2分）
解得a=3，b=-2，c=0，…（3分）
∴f（x）=3x²-2x．…（4分）
（2）又點（n，S_n）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，則S_n=3n²-2n…（5分）
當n=1時，a₁=S₁=3-2=1．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）=6n-5…（6分）
對于上式，當n=1時，也有a₁=1，…（7分）
所以通項公式為a_n=6n-5…（8分）
（3）由（2）知a_n=6n-5，b_n=

an

2n

=

6n-5

2n

…（9分）
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

6-5

2

+

6×2-5

22

+

6×3-5

23

+…+

6×(n-1)-5

2n-1

+

6n-5

2n

    ①
①×

1

2

得，

1

2

Tn=

6-5

22

+

6×2-5

23

+

6×3-5

24

+…+

6×(n-1)-5

2n

+

6n-5

2n+1

  ②---（11分）
①-②有

1

2

Tn=

1

2

+

6

22

+

6

23

+…+

6

2n

-

6n-5

2n+1

=

1

2

+6

1 22 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

6n-5

2n+1

=

7

2

-3(

1

2

)n-1-

6n-5

2n+1

--------------------（13分）
∴T_n=7-3(

1

2

)n-2-

6n-5

2n

=7-

6n+7

2n

--------------------（14分）

點評：本題考查數(shù)列的求和，涉及函數(shù)解析式的求解及錯位相減法求和，屬中檔題．