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設f（x）是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線x=1對稱，對任意x1，x2∈［0，］，都有f（x1＋x2）=f（x1）·f（x2）.

（1）設f（1）=2，求f（），f（）；

（2）證明f（x）是周期函數；

 

答案：
解析：

（1）解：由f（x1＋x2）=f（x1）·f（x2），x1，x2∈［0，］知

f（x）=f（）·f（）≥0，x∈［0，1］，∵f（1）=f（+）=f（）·f（）=

[f（）]2，f（1）=2，∴f（）=2．

∵f（）=f（+）=f（）·f（）=[f（）]2，f（）=2，

∴f（）=2．

（2）證明：依題設y=f（x）關于直線x=1對稱，

∴f（x）=（1+1－x），f（x）=f（2－x）

又∵f（－x）=f（x），∴f（－x）=f（2－x），∴f（x）=f（2+x），

∴f（x）是R上的周期函數，且2是它的一個周期．

 


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-2
．

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1
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3
2
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7
2
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-2
-2
．

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