定義在R上的可導函數(shù)f(x),且f(x)圖象連續(xù),當x≠0時,f′(x)+x-1f(x)>0,則函數(shù)g(x)=f(x)+x-1的零點的個數(shù)為( �。�
分析:由題意可得
xf′(x)+f(x)
x
>0
,進而可得函數(shù)xf(x)單調(diào)性,而函數(shù)g(x)=
xf(x)+1
x
的零點個數(shù)等價為函數(shù)y=xf(x)+1的零點個數(shù),可得y=xf(x)+1>1,無零點.
解答:解:由f'(x)+x-1f(x)>0,得
xf′(x)+f(x)
x
>0
,
當x>0時,xf'(x)+f(x)>0,即[xf(x)]'>0,函數(shù)xf(x)單調(diào)遞增;
當x<0時,xf'(x)+f(x)<0,即[xf(x)]'<0,函數(shù)xf(x)單調(diào)遞減.
g(x)=f(x)+x-1=
xf(x)+1
x
,函數(shù)g(x)=
xf(x)+1
x
的零點個數(shù)等價為函數(shù)y=xf(x)+1的零點個數(shù).
當x>0時,y=xf(x)+1>1,當x<0時,y=xf(x)+1>1,所以函數(shù)y=xf(x)+1無零點,
所以函數(shù)g(x)=f(x)+x-1的零點個數(shù)為0個.
故選C.
點評:本題考查根的存在性及根的個數(shù)的判斷,涉及函數(shù)的單調(diào)性,屬中檔題.
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7、若函數(shù)y=f(x)是定義在R上的可導函數(shù),則f′(x0)=0是x0為函數(shù)y=f(x)的極值點的(  )

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定義在R上的可導函數(shù)y=f(x)在x=1處的切線方程是y=-x+2,則f(1)+f'(1)=( �。�
A、-1
B、
1
2
C、2
D、0

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定義在R上的可導函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),f(x-2)=f(x+2),且當x∈[2,4]時,f(x)=x2+2xf(2),則f(-
1
2
)與f(
16
3
)的大小關(guān)系是( �。�
A、f(-
1
2
)=f(
16
3
B、f(-
1
2
)<f(
16
3
C、f(-
1
2
)>f(
16
3
D、不確定

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設(shè)f(x)、g(x)是定義在R上的可導函數(shù),且f(x)g(x)+f(x)g(x)<0,則當a<x<b時有(  )

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a>b
a>b

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