Question

4．動直線2ax+（a+c）y+2c=0（a∈R，c∈R）過定點（m，n），x₁+x₂+m+n=15 且x₁＞x₂，則$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$的最小值為16．

Answer 1

分析 先根據(jù)直線過點定點求出m，n的值，再得到x₁+x₂=16，為了書寫方便，設(shè)x₁=t，則x₂=16-t，得到t＞8，代入化簡，根據(jù)基本不等式即可求出最小值．

解答 解：∵2ax+（a+c）y+2c=0，過定點（m，n），
即為a（2x+y）+c（y+2）=0，
∴2x+y=0，且y+2=0，
解得x=1，y=-2
∴m=1，n=-2，
∵x₁+x₂+m+n=15，
∴x₁+x₂=16，
∵x₁＞x₂，
設(shè)x₁=t，則x₂=16-t，
∴t＞16-t，
∴t＞8
∴$\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{t}^{2}+（16-t）^{2}}{t-（16-t）}$=$\frac{2{t}^{2}-32t+1{6}^{2}}{2t-16}$
=$\frac{（t-8）^{2}+64}{t-8}$=t-8+$\frac{64}{t-8}$≥2$\sqrt{（t-8）•\frac{64}{t-8}}$=16，當且僅當t=16時取等號，
故$\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$的最小值為16，
故答案為：16．

點評 本題考查了直線過定點以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．