Question

某廠花費50萬元買回一臺機器，這臺機器投入生產(chǎn)后每天要付維修費．已知第n（n∈N^*）天應付維修費為

1

4

（n-1）+500元，機器從投產(chǎn)到報廢共付的維修費與購買機器費用的和平均分攤到每一天，叫做每天的平均損耗，當平均損耗達到最小值時，機器應當報廢．
（Ⅰ）求前n天維修費用總和；
（Ⅱ）將每天的平均損耗y（元）表示為投產(chǎn)天數(shù)n的函數(shù)；
（Ⅲ）求機器使用多少天應當報廢？

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應用

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）設a_n=

1

4

（n-1）+500，則{a_n}為等差數(shù)列，且首項為500，公差為

1

4

，可得前n天維修費用總和；
（Ⅱ）將前n天維修費用總和與設備成本相加，除以總天數(shù)即可得到函數(shù)關系式；
（Ⅲ）利用基本不等式求最值，即可得出結論．．

解答： 解：（Ⅰ）設a_n=

1

4

（n-1）+500，則{a_n}為等差數(shù)列，且首項為500，公差為

1

4

…（2分）
所以前n天維修費用總和S_n=

n[500+ 1 4 (n-1)+500]

2

=

1

8

n2+

3999

8

n（n∈N^*）…（4分）
（Ⅱ）y=

1

n

（

1

8

n2+

3999

8

n+500000）=

n

8

+

500000

n

+

3999

8

（n∈N^*） …（9分）
（Ⅲ）∵

n

8

+

500000

n

≥500，
當且僅當

n

8

=

500000

n

，即n=2000時，y取到最小值
答：機器使用到2000天時應到報廢．                              …（13分）

點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構建，考查平均損耗，考查了函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．