Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

1

n(an+3)

(n∈N*)，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn＞

1

36

．

Answer 1

分析：（1）由等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列，知(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由bn=

1

n(an+3)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂項(xiàng)求和法能求出S_n．從而得到Sn＞

1

36

．

解答：解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列，
∴(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2
整理得：2a1d=d2，
∵a₁=1，解得d=2（d=0舍去）
∴an=2n-1(n∈N*)，
（2）bn=

1

n(an+3)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

2

(1-

1

n+1

)，
∴當(dāng)n=1時(shí)，S_n取最小值S1=

1

2

(1-

1

2

)=

1

4

＞

1

36

．
∴Sn＞

1

36

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．