Question

7．長為$4\sqrt{2}$的線段AB在雙曲線x²-y²=1的一條漸近線上移動，C為拋物線y=-x²-2上的點(diǎn)，則△ABC面積的最小值是（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． $\frac{7}{5}$
• C． $\frac{{7\sqrt{2}}}{4}$
• D． 7

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，設(shè)C（m，-m²-2），運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，以及二次函數(shù)的最值的求法，再由三角形的面積公式，即可得到三角形的面積的最小值．

解答 解：雙曲線x²-y²=1的一條漸近線方程為y=x，
C為拋物線y=-x²-2上的點(diǎn)，
設(shè)C（m，-m²-2），
C到直線y=x的距離為d=$\frac{|{m}^{2}+m+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{（m+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{4}}{\sqrt{2}}$≥$\frac{7}{4\sqrt{2}}$，
當(dāng)m=-$\frac{1}{2}$時，d的最小值為$\frac{7}{4\sqrt{2}}$，
可得△ABC的面積的最小值為S=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×$\frac{7}{4\sqrt{2}}$=$\frac{7}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及拋物線的方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，考查二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．