Question

已知常數(shù)a＞0，向量

m

=（0，a），

n

=（1，0）經過定點A（0，-a）以

m

+λ

n

為方向向量的直線與經過定點B（0，a）以

n

+2λ

m

為方向向量的直線相交于點P，其中λ∈R．
（I）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若a=

2

2

，過E（0，1）的直線l交曲線C于M、N兩點，求

EM

•

EN

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用向量共線定理和坐標運算即可得出；
（II）對直線l的斜率分類討論，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+1與雙曲線的方程聯(lián)立，即可得到根與系數(shù)的關系，再利用向量的數(shù)量積和對k分類討論即可得出．

解答：解：（I）設P（x，y），∴

AP

=(x，y+a)，

BP

=(x，y-a)．
又

m

+λ

n

=（0，a）+λ（1，0）=（λ，a），

n

+2λ

m

=（1，0）+2λ（0，a）=（1，2λa），
∵（

m

+λ

n

）∥

AP

，（

n

+2λ

m

）∥

BP

，
∴xa-λ（y+a）=0，2λax-（y-a）=0，
消去參數(shù)λ得y²-2a²x²=a²．
化為

y2

a2

-

x2

1 2

=1．
（II）當a=

2

2

時，點P的軌跡方程為

y2

1 2

-

x2

1 2

=1.c=

1 2 + 1 2

=1．
∴E（0，1）為雙曲線的一焦點．
①當直線l的斜率不存在時，其方程為x=0，l與雙曲線分別相較于點M(0，

2

2

)，N(0，-

2

2

)．此時

EM

•

EN

=(0，

2

2

-1)•(0，-

2

2

-1)=

1

2

．
②當直線l的斜率存在時，設l的方程為y=kx+1，代入雙曲線得2（k²-1）x²+4kx+1=0，
∵l與雙曲線交于兩點，∴△=16k²-8（k²-1）＞0，且k²-1≠0．
設兩交點為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
則x1+x2=

-2k

k2-1

，x1x2=

1

2(k2-1)

．
∴

EM

•

EN

=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=x1x2+k2x1x2=(1+k2)•

1

2(k2-1)

=

1

2

(1+

2

k2-1

)．
當-1＜k＜1時，k²-1＜0，則

EM

•

EN

≤-

1

2

，
當k＜-1或k＞1時，k²-1＞0，故

EM

•

EN

＞

1

2

．
綜上所述：

EM

•

EN

的取值范圍是(-∞，-

1

2

]∪[

1

2

，+∞)．

點評：熟練掌握向量共線定理和坐標運算、分類討論、直線與雙曲線相交問題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、向量的數(shù)量積運算等是解題的關鍵．