(1)求f(x)的解析式;
(2)試在函數(shù)f(x)的圖像上求兩點(diǎn),使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直,且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在區(qū)間[-1,1]上;
(3)求證:|f(sinx)-f(cosx)|≤,(x∈R).
解:(1)∵f′(x)=4a0x3+3a1x2+2a1x+a3
由于f′(x)為偶函數(shù) ∴a0=a1=0
∴f(x)=a1x3+a3x,f′(x)=3a1x2+a3
又∵x=-時(shí),f(x)取得極大值
∴
即f(x)=x3-x.
(2)設(shè)所求點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2(x1<x2)
由已知這兩點(diǎn)處切線斜率為
∵()·()=-1
∵x1、x2∈[-1,1]. ∴∈[-1,1]
存在中有一個(gè)為1,另一個(gè)為-1.
∴
∴所求兩點(diǎn)坐標(biāo)為 (0,0)與(1,)或(0,0)與(-1,)
(3) ∵sinx,cosx∈[-1,1]
而f′(x)=2x2-1=0x=±
∴f(x)在[-1,]及[,1]上遞減,
在[-,]上遞減
即f(x)極大值=f(-)=
f(x)極小值=f()=-
而f(-1)= f(-1)=-
∴f(x)max= f(x)min=-
∴|f(sinx)-f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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