設(shè)定義域在R上的函數(shù)f(x)=a0x4+a1x3+a2x2+a3x,(ai∈R,i=0,1,2,3),當(dāng)x=-時(shí),f(x)取得極大值,并且導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,

(1)求f(x)的解析式;

(2)試在函數(shù)f(x)的圖像上求兩點(diǎn),使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直,且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在區(qū)間[-1,1]上;

(3)求證:|f(sinx)-f(cosx)|≤,(x∈R).

解:(1)∵f′(x)=4a0x3+3a1x2+2a1x+a3

由于f′(x)為偶函數(shù)  ∴a0=a1=0

∴f(x)=a1x3+a3x,f′(x)=3a1x2+a3

又∵x=-時(shí),f(x)取得極大值

即f(x)=x3-x.

(2)設(shè)所求點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2(x1<x2

由已知這兩點(diǎn)處切線斜率為

∵()·()=-1

∵x1、x2∈[-1,1].  ∴∈[-1,1]

存在中有一個(gè)為1,另一個(gè)為-1.

∴所求兩點(diǎn)坐標(biāo)為 (0,0)與(1,)或(0,0)與(-1,)

(3) ∵sinx,cosx∈[-1,1]

而f′(x)=2x2-1=0x=±

∴f(x)在[-1,]及[,1]上遞減,

在[-,]上遞減

即f(x)極大值=f(-)=

f(x)極小值=f()=-

而f(-1)=    f(-1)=-

∴f(x)max=    f(x)min=-

∴|f(sinx)-f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤

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π
2
時(shí),(x-
π
2
)f′(x)<0,則方程f(x)=cosx在[-2π,2π]上的根的個(gè)數(shù)( 。

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