Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-mln （2x+1），其中x∈（-$\frac{1}{2}$，1]，且m＞0．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-$\frac{1}{2}$，1]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）是否存在最小值，若存在最小值，求出取最小值時(shí)的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （I）令f′（x）≤0在（-$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，分離參數(shù)得m≥2x²+x，求出右側(cè)函數(shù)的最大值即可得出m的范圍；
（II）求出f（x）的極值點(diǎn)，對(duì)極值點(diǎn)是否在區(qū)間（-$\frac{1}{2}$，1]上進(jìn)行討論，得出f（x）的單調(diào)性，從而得出f（x）是否存在最小值．

解答 解：（I）f′（x）=2x-$\frac{2m}{2x+1}$=$\frac{2（2{x}^{2}+x-m）}{2x+1}$，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（-$\frac{1}{2}$，1]上是減函數(shù)，
∴f′（x）≤0在（-$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，即m≥2x²+x在（-$\frac{1}{2}$，1]上恒成立．
設(shè)g（x）=2x²+x，則g（x）在（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$]上是減函數(shù)，在（-$\frac{1}{4}$，1]上是增函數(shù)，
且g（-$\frac{1}{2}$）=0，g（1）=3，∴g_max（x）=g（1）=3，
∴m≥3．
（II）令f′（x）=0得x₁=$\frac{-1-\sqrt{1+8m}}{4}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1+8m}}{4}$，
∵m＞0，∴x₁$＜-\frac{1}{2}$，x₂＞0．
①若0＜$\frac{-1+\sqrt{1+8m}}{4}$＜1，即0＜m＜3，則當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x＜x₂時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x₂＜x≤1時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-$\frac{1}{2}$，x₂）上單調(diào)遞減，在（x₂，1]上低調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=$\frac{-1+\sqrt{1+8m}}{4}$時(shí)，f（x）取得最小值．
②若$\frac{-1+\sqrt{1+8m}}{4}$≥1，即m≥3，當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x≤1時(shí)，f′（x）≤0，
∴f（x）在區(qū)間（-$\frac{1}{2}$，1]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值．
綜上，當(dāng)0＜m＜3時(shí)，當(dāng)x=$\frac{-1+\sqrt{1+8m}}{4}$時(shí)，f（x）取得最小值；
當(dāng)m≥3時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)最值得求解，分類討論思想，屬于中檔題．