Question

已知函數f（x）=a-

2

3x+1

是在R上的奇函數，
（1）求實數a的值；
（2）判斷函數f（x）在R上的單調性；
（3）若對于任意實數t∈

1

，

2

，不等式f（t+2）+f（k•t²-1）＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數單調性的性質,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由奇函數的性質，可得f（0）=0，解得a=1，再檢驗即可；
（2）運用指數函數的單調性和單調性的性質，即可判斷；
（3）運用奇函數和單調性，即可得到k•t²-1＞-t-2，則k＞-

1

t2

-

1

t

對于任意實數t∈

1

，

2

成立，求出右邊的最大值即可．

解答： 解：（1）函數f（x）=a-

2

3x+1

是在R上的奇函數，
則有f（0）=0，即a-

2

30+1

=0，解得，a=1，
f（x）=1-

2

3x+1

=

3x-1

3x+1

，f（-x）=

3-x-1

3-x+1

=

1-3x

1+3x

=-f（x），則f（x）為奇函數，
故a=1；
（2）由于f（x）=1-

2

3x+1

，在R上3x遞增，

2

3x+1

遞減，
則f（x）在R上遞增；
（3）不等式f（t+2）+f（k•t²-1）＞0恒成立，即為
f（k•t²-1）＞-f（t+2）=f（-t-2），
由f（x）在R上遞增，即有k•t²-1＞-t-2，
則k＞-

1

t2

-

1

t

對于任意實數t∈

1

，

2

成立，
而-

1

t2

-

1

t

=-（

1

t

+

1

2

）²+

1

4

，
由于

1

t

∈[

1

2

，1]，則t=2取得最大值，且為-

3

4

．
則k＞-

3

4

．
即有k的取值范圍是（-

3

4

，+∞）．

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷和運用：解不等式，考查恒成立思想轉化為求最值，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．