Question

【題目】已知，函數

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數有兩個不同的零點，求實數的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，求證：

Answer 1

【答案】（1）在 是增函數， 是減函數；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先求導，再分類討論，分別令 可得增區(qū)間，令可得得減區(qū)間；(2)討論兩種情況，分別利用導數判斷函數的單調性，以及結合函數的極值及簡圖即可求出的范圍；（3）由，只要證明： 就可以得出結論，構造函數： ，利用導數研究函數的單調性即可證明.

試題解析：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），其導數f'（x）=﹣a．

①當a≤0時，f'（x）＞0，函數在（0，+∞）上是增函數；

②當a＞0時，在區(qū)間（0，）上，f'（x）＞0；在區(qū)間（，+∞）上，f'（x）＜0．

∴f（x）在（0，）是增函數，在（，+∞）是減函數．

（2）由（1）知，當a≤0時，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，不可能有兩個零點，

當a＞0時，f（x）在（0，）上是增函數，在（，+∞）上是減函數，此時f（）為函數f（x）的最大值，

當f（）≤0時，f（x）最多有一個零點，∴f（）=ln＞0，解得0＜a＜1，

此時，＜，且f（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，

f（）=2﹣2lna﹣+1=3﹣2lna﹣（0＜a＜1），

令F（a）=3﹣2lna﹣，則F'（x）=﹣=＞0，∴F（a）在（0，1）上單調遞增，∴F（a）＜F（1）=3﹣e2＜0，即f（）＜0，

∴a的取值范圍是（0，1）．

（3）由（2）可知函數f（x）在（0，）是增函數，在（，+∞）是減函數．分析：∵0，∴．只要證明：f（）＞0就可以得出結論．

下面給出證明：構造函數：g（x）=f（﹣x）﹣f（x）=ln（﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx﹣ax）（0＜x≤），則g'（x）=+2a=，

函數g（x）在區(qū)間（0，]上為減函數．0＜x1，則g（x1）＞g（）=0，又f（x1）=0，

于是f（）=ln（）﹣a（）+1﹣f（x1）=g（x1）＞0．又f（x2）=0，

由（1）可知，即．

【方法點晴】本題主要考查的是利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的零點、證明不等式，屬于難題．利用導數研究函數的單調性的步驟：①確定函數的定義域；②對求導；③令，在定義域內解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，在定義域內解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間.