Question

a、b、c、m∈R⁺，a^m=b^m+c^m，若長(zhǎng)為a、b、c三線(xiàn)段能構(gòu)成三角形，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，由a^m=b^m+c^m變形可得（

b

a

）^m+（

c

a

）^m=1，由常數(shù)1聯(lián)系同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，可以設(shè)（

b

a

）^m=sin²θ；（

c

a

）^m=cos²θ，（0°＜θ＜90°），又由題意，可得b+c＞a，將b、c與a的關(guān)系代入可得，a•

m	sin2θ

+a•

m	cos2θ

＞a；進(jìn)而整理變形可得，

m	sin2θ

+

m	cos2θ

＞1=sin²θ+cos²θ，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，分析可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，由a^m=b^m+c^m，可得（

b

a

）^m+（

c

a

）^m=1，且a＞b，a＞c；
設(shè)（

b

a

）^m=sin²θ；（

c

a

）^m=cos²θ，（0°＜θ＜90°）
化簡(jiǎn)可得：b=a•

m	sin2θ

，c=a•

m	cos2θ

；
若長(zhǎng)為a、b、c三線(xiàn)段能構(gòu)成三角形，則b+c＞a，
即a•

m	sin2θ

+a•

m	cos2θ

＞a；
整理可得，

m	sin2θ

+

m	cos2θ

＞1=sin²θ+cos²θ，
由冪函數(shù)的性質(zhì)分析可得，
當(dāng)且僅當(dāng)m＞1時(shí)，

m	sin2θ

＞sin²θ與

m	cos2θ

＞cos²θ同時(shí)成立，
即b+c＞a，
故m的取值范圍為m＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的換元應(yīng)用，注意從a^m=b^m+c^m變形可得（

b

a

）^m+（

c

a

）^m=1，由常數(shù)1聯(lián)系同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，是解題的突破口．