橢圓的離心率為，且過點直線與橢圓M交于A、C兩點，直線與橢圓M交于B、D兩點，四邊形ABCD是平行四邊形
（1）求橢圓M的方程；
（2）求證：平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于原點O；
（3）若平行四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD的面積的最小值
（1）；（2）詳見解析；（3）最小值為

試題分析：（1）依題意有，再加上，解此方程組即可得的值，從而得橢圓 的方程（2）由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以ABCD的對角線AC和BD的中點重合
利用（1）所得橢圓方程，聯(lián)立方程組消去得：，顯然點A、C的橫坐標(biāo)是這個方程的兩個根，由此可得線段的中點為 同理可得線段的中點為，由于中點重合，所以，解得：或(舍)這說明和都過原點即相交于原點（3）由于對角線過原點且該四邊形為菱形，所以其面積為由方程組易得點A的坐標(biāo)（用表示），從而得（用表示）；同理可得（由于，故仍可用表示）這樣就可將表示為的函數(shù)，從而求得其最小值
試題解析：（1）依題意有，又因為，所以得
故橢圓的方程為                                    3分
（2）依題意，點滿足
所以是方程的兩個根
得
所以線段的中點為 
同理，所以線段的中點為         5分
因為四邊形是平行四邊形，所以
解得，或(舍)
即平行四邊形的對角線和相交于原點                7分
（3）點滿足
所以是方程的兩個根，即
故
同理，                     9分
又因為，所以，其中
從而菱形的面積為
，
整理得，其中                 10分
故，當(dāng)或時，菱形的面積最小，該最小值為      12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的右焦點，長軸的左、右端點分別為,且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過焦點斜率為（）的直線交橢圓于兩點，弦的垂直平分線與軸相交于點. 試問橢圓上是否存在點使得四邊形為菱形？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

以橢圓的一個頂點為直角頂點作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形，試問：（1）這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在，寫出一個等腰直角三角形兩腰所在的直線方程。若不存在，說明理由。（2）這樣的等腰直角三角形若存在，最多有幾個？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：（）的焦距為，且過點（，），右焦點為．設(shè)，是上的兩個動點，線段的中點的橫坐標(biāo)為，線段的中垂線交橢圓于，兩點．

（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點，一個焦點為F(0，)，且長軸長與短軸長的比是∶1.
 
(1)求橢圓C的方程；
(2)若橢圓C上在第一象限的一點P的橫坐標(biāo)為1，過點P作傾斜角互補的兩條不同的直線PA，PB分別交橢圓C于另外兩點A，B，求證：直線AB的斜率為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，過的直線交橢圓于兩點， 的周長為8，且面積最大時，為正三角形．

（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，證明：點在以為直徑的圓上.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長等于的短軸長。與軸的交點為，過坐標(biāo)原點的直線與相交于點，直線分別與相交于點。

（1）求、的方程；
（2）求證：。
（3）記的面積分別為，若，求的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓與橢圓中心在原點，焦點均在軸上，且離心率相同．橢圓的長軸長為，且橢圓的左準線被橢圓截得的線段長為，已知點是橢圓上的一個動點．

⑴求橢圓與橢圓的方程；
⑵設(shè)點為橢圓的左頂點，點為橢圓的下頂點，若直線剛好平分，求點的坐標(biāo)；
⑶若點在橢圓上，點滿足，則直線與直線的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若實數(shù)x，y滿足x|x|－y|y|＝1，則點(x，y)到直線y＝x的距離的取值范圍是(  )
A．[1，) B．(0，]C．D．(0,1]

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案