Question

設f（x）=

x2+4

x

，
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）證明函數(shù)f（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）求函數(shù)的定義域，確定f（x）與f（-x）的關系即可；
（2）用定義法證明單調(diào)性．

解答： 解：（1）f（x）=

x2+4

x

的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
又∵f(-x)=

(-x)2+4

-x

=-

x2+4

x

=-f(x)，
∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）證明：任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

x12+4

x1

-

x22+4

x2

=

x12x2+4x2-x1x22-4x1

x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

∵x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷與證明，屬于基礎題．