Question

設(shè)二次方程，n∈N₊有兩根α和β，且滿足6α-2αβ+6β=3，a₁=1
（1）試用a_n表示a_n+1；　　　　　　
（2）證明是等比數(shù)列；
（3）設(shè)，n∈N₊，T_n為{c_n}的前n項(xiàng)和，證明：（n∈N₊）．

Answer 1

（1）解：∵二次方程，n∈N₊有兩根α和β，
∴由韋達(dá)定理得：α+β=，α•β=，
∵6α-2αβ+6β=3，a₁=1，
∴6•-2•=3，
∴a_n+1=a_n+，n∈N₊；
（2）證明：∵a_n+1=a_n+，∴a_n+1-=（a_n-），
∵a₁=1，∴a₁-=
∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
（3）證明：由（2）知，a_n-=
∴=
∴T_n=[1+2•+3•（）²+…+n•（）^n-1]，
∴T_n=[1•+2•（）²+3•（）³+…+（n-1）•（）^n-1+n•（）ⁿ]，
兩式相減可得T_n=[1++（）²+（）³+…+（）^n-1-n•（）ⁿ]
∴T_n=-•（）ⁿ-n•（）ⁿ⁺¹，
∴T_n＜＜．
分析：（1）直接利用韋達(dá)定理求出兩根之和以及兩根之積，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得到結(jié)論；
（2）對(duì)（1）的結(jié)論兩邊同時(shí)減去整理即可證是等比數(shù)列；
（3）確定{c_n}的通項(xiàng)，由此利用錯(cuò)位相減法，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)列的遞推關(guān)系以及韋達(dá)定理和等比數(shù)列知識(shí)的綜合考查，考查不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度大．