Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（m，cos2x），$\overrightarrow$=（sin2x，1），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，且y=f（x）的圖象過點（${\frac{π}{12}$，$\sqrt{3}}$）．
（1）求m的值；
（2）將y=f（x）的圖象向左平移φ（0＜φ＜π）個單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若y=g（x）圖象上各最高點到點（0，3）的距離的最小值為1，求y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量的數(shù)量積公式、兩角和的正弦公式化簡函數(shù)的解析式，再把點（${\frac{π}{12}$，$\sqrt{3}}$）代入，求得m的值．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）∵已知$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=msin2x+cos2x$，又∵f（x）過點$（\frac{π}{12}，\sqrt{3}）$，
∴$f（\frac{π}{12}）=msin\frac{π}{6}+cos\frac{π}{6}=\sqrt{3}$，解得：$m=\sqrt{3}$．
（2）由以上可得，$f（x）=\sqrt{3}sin2x+cos2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
把f（x）的圖象向左左移ϕ個單位后，得到$g（x）=2sin（2x+2ϕ+\frac{π}{6}）$．
設(shè)g（x）的圖象上符合題意的最高點為（x₀，2），∵$d=\sqrt{1+x_0^2}=1$，解得x₀=0，
∴g（0）=2，解得$ϕ=\frac{π}{6}$，∴$g（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}+\frac{π}{6}）=2sin（2x+\frac{π}{2}）=2cos2x$，
∴-π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈z$-\frac{π}{2}+kπ≤x≤kπ，k∈z$，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[-\frac{π}{2}+kπ，kπ]，k∈z$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．