14.已知圓O:x2+y2=1,點M(x0,y0)是直線x-y+2=0上一點,若圓O上存在一點N,使得$∠NMO=\frac{π}{6}$,則y0的取值范圍是[-2,0].

分析 過M作⊙O切線交⊙C于R,則∠OMR≥∠OMN,由題意可得∠OMR≥$\frac{π}{6}$,|OM|≤2.再根據(jù)M(x0,2+x0),|OM|2=x02+y02=2x02 +4x0+4,求得x0的取值范圍.

解答 解:過M作⊙O切線交⊙C于R,根據(jù)圓的切線性質(zhì),
有∠OMR≥∠OMN.
反過來,如果∠OMR≥$\frac{π}{6}$,則⊙O上存在一點N使得∠OMN=$\frac{π}{6}$.
∴若圓O上存在點N,使∠OMN=$\frac{π}{6}$,則∠OMR≥$\frac{π}{6}$.
∵|OR|=1,OR⊥MR,∴|OM|≤2.
又∵M(x0,2+x0),
|OM|2=x02+y02=x02+(2+x02=2x02 +4x0+4,
∴2x02+4x0+4≤4,解得,-2≤x0≤0.
∴x0的取值范圍是[-2,0],
故答案為:[-2,0].

點評 本題主要考查了直線與圓相切時切線的性質(zhì),以及一元二次不等式的解法,綜合考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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