Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax
（1）若函數(shù)在（-∞，2]上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)，求a的值；
（2）若函數(shù)在（-∞，2]上減函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若x∈[0，4]，求函數(shù)的最小值．

Answer 1

分析：（1）f（x）=（x-a）²-a²，則f（x）在（-∞，a]上是減函數(shù)，在（a，+∞）上是增函數(shù)，根據(jù)所給單調(diào)性即可求得a值；
（2）由f（x）在（-∞，2]上減函數(shù)，知（-∞，2]⊆（-∞，a]，從而可得a的范圍；
（3）分a＜0，0≤a≤4，a＞4進(jìn)行討論，借助單調(diào)性即可求出最小值；

解答：解：（1）f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²，
則f（x）在（-∞，a]上是減函數(shù)，在（a，+∞）上是增函數(shù)，
由函數(shù)在（-∞，2]上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)，得a=2；
（2）若函數(shù)f（x）在（-∞，2]上減函數(shù)，則（-∞，2]⊆（-∞，a]，
所以a≥2；
（3）①當(dāng)a＜0時，f（x）在[0，4]上遞增，f_min（x）=f（0）=0；
②當(dāng)0≤a≤4時，f_min（x）=f（a）=-a²；
③當(dāng)a＞4時，f（x）在[0，4]上遞減，f_min（x）=f（4）=16-8a．
綜上所述，f_min（x）=

0，a＜0 -a2，0≤a≤4 16-8a，a＞4

．

點評：本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，考查分類討論思想，屬中檔題．