Question

15．設(shè)S_n為各項(xiàng)不相等的等差數(shù)列a_n的前n 項(xiàng)和，已知a₃a₈=3a₁₁，S₃=9．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$，數(shù)列{b_n}的前n 項(xiàng)和為T_n，求$\frac{{a}_{n+1}}{{T}_{n}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出等差數(shù)列的公差，由已知列方程組求得首項(xiàng)和公差，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（2）把（1）中求得的數(shù)列通項(xiàng)公式代入b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$，分母有理化，裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{b_n}的前n 項(xiàng)和為T_n，代入$\frac{{a}_{n+1}}{{T}_{n}}$，由基本不等式求最小值．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，
則由題意知$\left\{{\begin{array}{l}{（{{a_1}+2d}）（{{a_1}+7d}）=3（{{a_1}+10d}）}\\{3{a_1}+\frac{3×2}{2}d=9}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{d=0}\\{{a_1}=3}\end{array}}\right.$（舍去）或$\left\{{\begin{array}{l}{d=1}\\{{a_1}=2}\end{array}}\right.$，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1；
（2）${b_n}=\frac{1}{{\sqrt{a_n}+\sqrt{{a_{n+1}}}}}=-\frac{1}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}}=\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$（\sqrt{3}-\sqrt{2}）+（\sqrt{4}-\sqrt{3}）+…+（\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}）=\sqrt{n+2}-\sqrt{2}$，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{T_n}=\frac{n+2}{{\sqrt{n+2}-\sqrt{2}}}$．
設(shè)$\sqrt{n+2}-\sqrt{2}=t$，則 $\frac{{{a_{n+1}}}}{T_n}=\frac{{{{（t+\sqrt{2}）}^2}}}{t}=t+\frac{2}{t}+2\sqrt{2}≥2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$t=\frac{2}{t}即t=\sqrt{2}，n=6$時(shí)等號(hào)成立．
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{T_n}$的最小值為$4\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．