Question

（本小題滿分12分）如圖，在正三棱柱中，點是棱的中點，

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角

Answer 1

解： （1）證明：連結(jié)AC₁交A₁C于點G，連結(jié)DG，

在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，

∴AG=GC₁，

∵AD=DB，

∴DG//BC₁            …………2分

∵DG平面A₁DC，BC₁平面A₁DC，

∴BC₁//平面A₁DC      …………4分

   （II）解法一：過D作DE⊥AC交AC于E，

過點D作DF⊥A₁C交A₁C于F，連結(jié)EF。

∵平面ABC⊥面平ACC₁A₁，DE平面ABC，

平面ABC∩平面ACC₁A₁=AC，

∴DE⊥平ACC₁A₁，

∴EF是DF在平面ACC₁A₁內(nèi)的射影。

∴EF⊥A₁C，

∴∠DFE是二面角D—A₁C—A的平面角，     ………………8分

在直角三角形ADC中，

同理可求：

    ………………12分

解法二：過點A作AO⊥BC交BC于O，過點O作OE⊥BC交B₁C₁于E。

因為平面ABC⊥平面CBB₁C_{1  ，}所以AO⊥平面CBB₁C₁，

分別以CB、OE、OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

因為BC=1，AA₁=，△ABC是等邊三角形，所以O(shè)為BC的中點，則

   …………6分

設(shè)平面A₁DC的法向量為

則

 

取得平面的一個法向量為   ………………8分

可求平面ACA₁的一個法向量為        ………………10分

設(shè)二面角D—A₁C—A的大小為，

則

               ………………12分