Question

已知函數(shù)，（其中常數(shù)m＞0）
（1）當m=2時，求f（x）的極大值；
（2）試討論f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性；
（3）當m∈[3，+∞）時，曲線y=f（x）上總存在相異兩點P（x₁，f（x₁））、Q（x₂，f（x₂）），使得曲線y=f（x）在點P、Q處的切線互相平行，求x₁+x₂的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導數(shù)，我們可以確定函數(shù)的單調(diào)性，這樣就可求f（x）的極大值；
（2）求導數(shù)，再進行類討論，利用導數(shù)的正負，確定函數(shù)的單調(diào)性；
（3）曲線y=f（x）在點P、Q處的切線互相平行，意味著導數(shù)值相等，由此作為解題的突破口即可．
解答：解：（1）當m=2時，
（x＞0）
令f'（x）＜0，可得或x＞2；令f'（x）＞0，可得，
∴f（x）在和（2，+∞）上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減             
故
（2）（x＞0，m＞0）
①當0＜m＜1時，則，故x∈（0，m）∪時，f′（x）＜0；x∈（m，）時，f'（x）＞0
此時f（x）在（0，m），上單調(diào)遞減，在（m，）單調(diào)遞增；           
②當m=1時，則，故x∈（0，1），有恒成立，
此時f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；                  
③當m＞1時，則，
故∪（m，1）時，f'（x）＜0；時，f'（x）＞0
此時f（x）在，（m，1）上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增       
（3）由題意，可得f′（x₁）=f′（x₂）（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂）
即 ⇒
∵x₁≠x₂，由不等式性質(zhì)可得恒成立，又x₁，x₂，m＞0
∴⇒對m∈[3，+∞）恒成立      
令，則對m∈[3，+∞）恒成立
∴g（m）在[3，+∞）上單調(diào)遞增，∴
故
從而“對m∈[3，+∞）恒成立”等價于“”
∴x₁+x₂的取值范圍為
點評：運用導數(shù)，我們可解決曲線的切線問題，函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，正確求導是我們解題的關(guān)鍵