Question

【題目】設(shè)橢圓過點(diǎn)，且直線過的左焦點(diǎn).

（1）求的方程；

（2）設(shè)為上的任一點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，與軸的負(fù)半軸、軸的正半軸分別交于點(diǎn)，的短軸端點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別為、，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最小值；

（3）如圖，直線經(jīng)過的右焦點(diǎn)，并交于兩點(diǎn)，且在直線上的射影依次為，當(dāng)繞轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，直線與是否相交于定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，否則，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）當(dāng)繞轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，直線與相交于定點(diǎn)

【解析】

（1）由題設(shè)知a＝2，進(jìn)一步求得c，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；

（2）求出軌跡為Γ的方程，端點(diǎn)G、H的坐標(biāo)，得到GH所在直線方程，設(shè)P的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算把轉(zhuǎn)化為P的縱坐標(biāo)的二次函數(shù)求最值；

（3）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l⊥x軸，則ABED為矩形，由對(duì)稱性知，AE與BD相交FK的中點(diǎn)N（，0），猜想，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)N（，0）．設(shè)出直線方程及A（x1，y1），B（x2，y2），知D（4，y1），E（4，y2）．當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，首先證直線AE過定點(diǎn)N（，0），再證點(diǎn)N（，0）也在直線lBD上，可得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，直線AE與BD相交于定點(diǎn)（，0）．

解：（1）由已知得a＝2，在直線x﹣5y+1＝0中，取y＝0，得x＝﹣1，可得c＝1．

∴b2＝a2﹣c2＝3，

∴橢圓C的方程為；

（2）由為C上的點(diǎn)，得，

∴Γ：，則G（﹣2，0），H（0，1），

∴GH：，即x﹣2y+2＝0．

橢圓C的短軸兩端點(diǎn)分別為（0，），（0，），

兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)分別為F1（，0）、F2（，0），

設(shè)P（x0，y0），則x0﹣2y0+2＝0，

，，

則，

∴的最小值為；

（3）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l⊥x軸，則ABED為矩形，

由對(duì)稱性知，AE與BD相交FK的中點(diǎn)N（，0），

猜想，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)N（，0）．

證明：設(shè)直線l方程y＝k（x﹣1），

直線l交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2），則D（4，y1），E（4，y2），

聯(lián)立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，

∴，，

當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，首先證直線AE過定點(diǎn)N（，0），

∵AE：（x﹣4），當(dāng)x時(shí)，y（

0，

∴點(diǎn)N（，0）在直線lAE上，

同理可證，點(diǎn)N（，0）也在直線lBD上．

∴當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)（，0）．