(2013•哈爾濱一模)選修4-1:幾何證明選講
如圖,AB是⊙的直徑,弦BD,CA 的延長線相交于點(diǎn)E,EF垂直BA 的延長線于點(diǎn)F.
求證:
(1)BE•DE+AC•CE=CE2;
(2)E,F(xiàn),C,B四點(diǎn)共圓.
分析:(1)連接CD后,根據(jù)圓周角定理及∠BEC為△ABE與△CDE的共公角,我們易得△ABE∽△CDE,根據(jù)相似三角形性質(zhì),結(jié)合比例的性質(zhì),易得答案.
(2)AB是⊙O的直徑所對的圓周角為直角,易得△ECB為直角三角形,結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,我們易得E,F(xiàn),C,B到點(diǎn)D的距離相等,即E,F(xiàn),C,B四點(diǎn)共圓.
解答:解:(1)連接CD,如下圖所示:
由圓周角定理,我們可得∠C=∠B
又由∠BEC為△ABE與△CDE的共公角,
∴△ABE∽△CDE,
∴BE:CE=AE:DE,
∴BE•DE=CE•AE
∴BE•DE+AC•CE=CE2(3分)
(2)∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ECB=90°,
∴CD=
1
2
BE
同理,F(xiàn)D=
1
2
BE,
所以,E,F(xiàn),C,B到點(diǎn)D的距離相等,
∴E,F(xiàn),C,B四點(diǎn)共圓.(10分)
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是相似三角形的判定及性質(zhì),四點(diǎn)共圓的判定,(2)中利用∠ADB=EFB=90°,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形判定定理,也可證明E,F(xiàn),C,B四點(diǎn)共圓.
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