Question

2．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，E是BC中點．
（1）求證：A₁B∥平面AEC₁；
（2）在棱AA₁上存在一點M，滿足B₁M⊥C₁E，求平面MEC₁與平面ABB₁A₁所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)A₁C交AC₁于點O，連結(jié)EO，推導出EO∥A₁B，由此能證明A₁B∥平面AEC₁．
（2）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面MEC₁與平面ABB₁A₁所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)A₁C交AC₁于點O，連結(jié)EO，
∵ACC₁A₁是正方形，∴O為A₁C的中點，
又E為CB的中點，∴EO∥A₁B，
∵EO?平面AEC₁，A₁B?平面AEC₁，
∴A₁B∥平面AEC₁．
解：（2）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），B₁（2，0，2），C（0，2，0），C₁（0，2，2），E（1，1，0），
設M（0，0，m），（0≤m≤2），則$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（-2，0，m-2），$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=（1，-1，-2），
∵B₁M⊥C₁E，∴$\overrightarrow{{B}_{1}M}•\overrightarrow{{C}_{1}E}$=-2-2（m-2）=0，解得m=1，
∴M（0，0，1），$\overrightarrow{ME}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{M{C}_{1}}$=（0，2，1），
設平面MEC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{n}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{M{C}_{1}}•\overrightarrow{n}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow{n}$=（3，-1，2），
∵AC⊥平面ABB₁A₁，∴取平面ABB₁A₁的法向量為$\overrightarrow{AC}$=（0，2，0），
∴cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{14}}{14}$，
∴平面MEC₁與平面ABB₁A₁所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{14}}{14}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角、空間中線線、線面、面面的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)數(shù)結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．