Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求二面角F-BE-C的大�。�

Answer 1

解：如圖：取CE中點G，連接FG，DG，BG，則FG∥DE
∵DE⊥平面ACD，
∴FG⊥平面ACD
∵三角形ACD為等邊三角形
∴AF⊥CD
以F為原點建立如圖空間直角坐標系，設AD=2
則A（，0，0），B（，0，1），C（0，-1，0），D（0，1，0）
E（0，1，2），F(xiàn)（0，0，0），G（0，0，1）
（1）∵=（，0，0），=（，0，0）
∴
∴AF∥BG，BG?平面BCE，AF?平面BCE
∴AF∥平面BCE
（2）∵=（0，-1，1），=（0，2，2），=（，0，0）
∴=0+（-2）+2=0，=0+0+0=0
∴DG⊥CE，DG⊥BG，CE∩BG=G
∴DG⊥平面BCE，DG?平面CDE
∴平面BCE⊥平面CDE
（3）由（2）知，平面BCE的法向量為=（0，-1，1），
設平面BEF的法向量為=（x，y，z）
∵=（0，1，2），=（，0，1）
∴
取=（，-6，3）
∴cos＜＞=====
∴二面角F-BE-C的大小為arccos
分析：取CE中點G，以F為原點，F(xiàn)G為y軸，F(xiàn)B為y軸，F(xiàn)A為x軸，建立空間直角坐標系，寫處相關點的坐標，（1）只需證明，即可利用線面平行的判定定理得證；（2）只需證明，即可利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理證明結論；（3）由（2）得平面BCE的法向量為，求平面EFB的法向量，利用空間向量夾角公式即可得二面角的余弦值
點評：本題考查了線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，二面角的求法，空間向量及空間直角坐標系在立體幾何中的應用