Question

已知（1+x+x²+x³）（x+

1

x4

）ⁿ的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，則n的一個(gè)可能值為（　�。�

• A、11
• B、12
• C、13
• D、14

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：二項(xiàng)式定理

分析：由題意可得可得（x+x^-4）ⁿ的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，且沒(méi)有x^-1項(xiàng)，且沒(méi)有x^-2項(xiàng)，且沒(méi)有x^-3項(xiàng)．根據(jù)（x+x^-4）ⁿ的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得x的冪指數(shù)為n-5r，故n-5r=0無(wú)解，且n-5r=-1無(wú)解，且n-5r=-2無(wú)解，且n-5r=-3無(wú)解結(jié)合所給的選項(xiàng)，從而得出結(jié)論．

解答： 解：若（1+x+x²+x³）（x+

1

x4

）ⁿ的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，可得（x+x^-3）ⁿ的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，
且沒(méi)有x^-1項(xiàng)，且沒(méi)有x^-2項(xiàng)，且沒(méi)有x^-3項(xiàng)．
而（x+x^-4）ⁿ的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r n

•x^n-5r，
故n-5r=0無(wú)解，且n-5r=-1無(wú)解，且n-5r=-2無(wú)解，且n-5r=-3無(wú)解，
結(jié)合所給的選項(xiàng)可得，n=11，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．