Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，短軸長為2，直線l與橢圓有且只有一個公共點.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在以原點O為圓心的圓滿足：此圓與直線l相交于P，Q兩點（兩點均不在坐標(biāo)軸上），且OP，OQ的斜率之積為定值，若存在，求出此定值和圓的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；定值，圓

【解析】

（1）首先根據(jù)題意列出方程組，再解方程組即可得到答案.

（2）首先假設(shè)存在符合條件的圓，并設(shè)此圓的方程為，分別討論斜率存在和斜率不存在的情況，讓直線和橢圓，直線與圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計算即可得到答案.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，

由題意得：，解得.

所以橢圓的方程為；

（2）結(jié)論：存在符合條件的圓，此圓的方程為，

直線，的斜率之積為定值.

證明如下：假設(shè)存在符合條件的圓，并設(shè)此圓的方程為.

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，設(shè)，

由，解得，

因為直線l與橢圓有且只有一個公共點，

所以，

所以

由得，

所以

所以

要使為定值（與無關(guān)），則，即.

所以當(dāng)圓的方程為，圓與直線相交于兩點，

直線，的斜率之積為定值.

當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為，此圓與直線相交于.

此時，，滿足，

綜上所述，存在滿足條件的圓，

此圓與直線相交于兩點（兩點均不在坐標(biāo)軸上），

且，的斜率之積為定值.