Question

2．設(shè)a、b表示兩條直線，α、β表示兩個平面，則下列命題正確的是②③．（填寫所有正確命題的序號）
①若a∥b，a∥α，則b∥α； ②若a∥b，a?α，b⊥β，則α⊥β；
③若α∥β，a⊥α，則a⊥β；④若α⊥β，a⊥b，a⊥α，則b⊥β．

Answer 1

分析 根據(jù)空間線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)進行判斷．

解答 解：對于①，若b?α，則結(jié)論不成立，故①錯誤；
對于②，∵a∥b，b⊥β，∴a⊥β，
又a?α，∴α⊥β．故②正確；
對于③，設(shè)m，n為α內(nèi)的兩條相交直線，
m′，n′為m，n在β內(nèi)的射影，則m∥m′，n∥n′，
∵a⊥α，∴a⊥m，a⊥n，
∴a⊥m′，a⊥n′，
∴a⊥β，故③正確；
對于④，以正三棱柱ABC-A₁B₁C₁為例說明，
設(shè)側(cè)面ABB₁A₁為α，底面ABC為β，側(cè)棱CC₁為直線a，底面ABC內(nèi)任意一條直線為b，
顯然b與平面β的關(guān)系不確定，故④錯誤；
故答案為：②③．

點評 本題考查了空間線面位置關(guān)系的判斷，應熟記各種判定定理和性質(zhì)定理，屬于中檔題．