Question

已知二次函數f（x）是偶函數，且f（4）=4f（2）=16．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[2，3]上為增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合函數的單調性

專題：函數的性質及應用

分析：（1）g利用待定系數法即可求f（x）的解析式；
（2）根據復合函數單調性之間的關系即可求實數a的取值范圍

解答： 解：（1）由f（4）=4f（2）=16．
得f（4）=16，f（2）=4．
設二次函數f（x）=ax²+bx+c，
∵f（x）是偶函數，∴b=0，
此時f（x）=ax²+c，
∵f（4）=16，f（2）=4．
∴

16a+c=16 4a+c=4

，解得a=1，c=0，
即f（x）=x²；
（2）g（x）=log_a[f（x）-ax]=log_a[x²-ax]，（（a＞0，且a≠1），
設t=m（x）=x²-ax，則函數的對稱軸為x=-

-a

2

=

a

2

，
若0＜a＜1，則函數y=log_at為減函數，
則要求g（x）在區(qū)間[2，3]上為增函數，
則滿足m（x）=x²-ax在區(qū)間[2，3]上為減函數

a≥3 m(3)＞0

，即

a≥3 9-3a＞0

，即

a≥3 a＜3

，此時無解，
若a＞1，則函數y=log_at為增函數，
則要求g（x）在區(qū)間[2，3]上為增函數，
則滿足m（x）=x²-ax在區(qū)間[2，3]上為增函數
即

a≤2 m(2)=4-2a＞0

，即

a≤2 a＜2

，解得a＜2，
此時1＜a＜2．

點評：本題主要考查一元二次函數解析式的求解，以及復合函數單調性之間的關系，利用待定系數法求出函數f（x）的解析式是解決本題的關鍵．