已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+5，記f（x）的導數(shù)為f′（x）．
（1）若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為3，且x=數(shù)學公式時，y=f（x）有極值，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在（I）的條件下，求函數(shù)f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．

解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+5，求導數(shù)得f'（x）=3x2+2ax+b，
∵在函數(shù)f（x）圖象上一點P（1，f（1））處切線的斜率為3，
∴f'（1）=3，即3+2a+b=3，化簡得2a+b=0①；
∵y=f（x）在x=時有極值，∴f'（）=0，即4a+3b+4=0 ②．
由①②聯(lián)立解得a=2，b=-4，
∴f（x）=x3+2x2-4x+5；
（2）由（1）知f'（x）=3x2+4x-4=（x+2）（3x-2）
∴函數(shù)在x=-2及x=時有極值
∵f（-4）=-11，f（-2）=13，f（）=，f（1）=6
∴函數(shù)f（x）在[-4，1]上的最大值為13，最小值為-11．
分析：（1）求導函數(shù)，利用曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為3，且x=時，y=f（x）有極值，建立兩個方程，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）確定函數(shù)的極值點，利用函數(shù)的最值在極值點處及端點處取得，即可得到結論．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值與最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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