Question

1．已知三條直線l₁：ax-y+a=0，l₂：x+ay-a（a+1）=0，l₃：（a+1）x-y+a+1=0，a＞0．
（1）證明：這三條直線共有三個不同的交點；
（2）求這三條直線圍成的三角形的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）分別求出直線l₁與l₃的交點A、l₁與l₂的交點B和l₂與l₃的交點C，且判斷三點的坐標各不相同即可；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，由AB⊥BC知點B在以AC為直徑的半圓上，除A、C點外；由此求出△ABC的面積最大值．

解答 解：（1）證明：直線l₁：ax-y+a=0恒過定點A（-1，0），
直線l₃：（a+1）x-y+a+1=0恒過定點A（-1，0），
∴直線l₁與l₃交于點A；
又直線l₂：x+ay-a（a+1）=0不過定點A，
且l₁與l₂垂直，必相交，設(shè)交點為B，則B（$\frac{-1}{{a}^{2}+1}$，$\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+1}$）；
l₂與l₃相交，交點為C（0，a+1）；
∵a＞0，∴三點A、B、C的坐標不相同，
即這三條直線共有三個不同的交點；
（2）根據(jù)題意，畫出圖形如圖所示；

AB⊥BC，
∴點B在以AC為直徑的半圓上，除A、C點外；
則△ABC的面積最大值為
S=$\frac{1}{2}$•|AC|•$\frac{1}{2}$|AC|=$\frac{1}{4}$×（1+（a+1）²）=$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了直線的交點與應(yīng)用問題，也考查了方程組與三角形面積的計算問題，是中檔題．