Question

在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為平行四邊形，平面ABE⊥平面BCDE，AB=AE，DB=DE，∠BAE=∠BDE=90°
（1）求異面直線AB與DE所成角的大小；
（2）求二面角B-AE-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設(shè)BE的中點(diǎn)為O，連結(jié)AO，DO，由已知得AO⊥BE，DO⊥BE，從而AO⊥平面BCDE，設(shè)AB=1，以B為原點(diǎn)，以BC為x軸，BD為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AB與DE所成角為60°．
（2）求出平面ACE的法向量和平面ABE的法向量，由此利用向量法能求出二面角B-AE-C的余弦值．

解答： 解：（1）設(shè)BE的中點(diǎn)為O，連結(jié)AO，DO，
∵AB=AE，BO=OE，∴AO⊥BE，同理DO⊥BE，
又∵平面ABE⊥平面BCDE，
平面ABE∩平面BCDE=BE，
∴AO⊥平面BCDE，
由題意，BE²=2AB²=2DB²，
∴AB=BD=DE=AE，
設(shè)AB=1，以B為原點(diǎn)，以BC為x軸，BD為y軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則B（0，0，0），C（1，0，0），D（0，1，0），
E（-1，1，0），A（-

1

2

，

1

2

，

2

2

），
則

AB

=（

1

2

，-

1

2

，-

2

2

），

DE

=（-1，0，0），
∵cos＜

AB

，

DE

＞=

AB • DE

| AB |•| DE |

=

- 1 2

1 4 + 1 4 + 1 2

=-

1

2

，
∴

AB

與

DE

的夾角為120°，
異面直線AB與DE所成角為60°．
（2）設(shè)平面ACE的法向量

n

=（x，y，z），

AB

=（

1

2

，-

1

2

，-

2

2

），

BE

=（-1，1，0），
則

n • AB = 1 2 x- 1 2 y- 2 2 z=0 n • BE =-x+y=0

，取x=1，得

n

=（1，1，0），
設(shè)平面ABE的法向量為

m

=（a，b，c），

EA

=（

1

2

，-

1

2

，

2

2

），

EC

=(2，-1，0)，
則

m • EA = 1 2 a- 1 2 b- 2 2 c=0 m • EC =2a-b=0

，取a=1，得

m

=（1，2，

2

2

），
設(shè)二面角B-AE-C的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=

| m • n |

| m |•| n |

=

3

11

=

3 11

11

．
∴二面角B-AE-C的余弦值為

3 11

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，線線角、二面角的概念、求法等知識(shí)，以及空間想象能力和邏輯推理能力．