Question

20．若函數f（x）是定義在R上的奇函數，但當x＞0時，f（x）=$\frac{1}{x+1}$-log₂（x+1），則滿足4f（x+1）＞7的實數x的取值范圍是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（3，+∞）
• C． （-4，2）
• D． （-∞，-4）

Answer 1

分析 先求出函數f（x）的解析式，再利用函數的單調性和奇偶性，結合f（-3）=$\frac{7}{4}$，求得x的范圍．

解答 解：∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（0）=0．
∵函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減，故函數f（x）在（-∞，0）上單調遞減．
設x＜0，則-x＞0，∵當x＞0時，f（x）=$\frac{1}{x+1}$-log₂（x+1），
∴f（-x）=$\frac{1}{1-x}$-log₂（1-x）=-f（x），∴f（x）=$\frac{1}{x-1}$+log₂（1-x），
故有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x+1}{-log}_{2}（x+1），x＞0}\\{0，x=0}\\{\frac{1}{x-1}{+log}_{2}（1-x），x＜0}\end{array}\right.$，它的單調性示意圖如圖所示：
故當x＞0時，f（x）＜1；當 x＜0時，f（x）＞-1．
∵f（3）=-$\frac{7}{4}$，∴f（-3）=$\frac{7}{4}$，
不等式4f（x+1）＞7，即 f（x+1）＞$\frac{7}{4}$=f（3），
若x+1＞0，f（x+1）＞$\frac{7}{4}$ 不可能；
若x+1＜0，則x+1＜-3，∴x＜-4，即實數x的取值范圍為（-∞，-4），
故選：D．

點評 本題主要考查函數的單調性和奇偶性的應用，求函數的解析式，解不等式，屬于中檔題．