Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

1

=1（a＞1）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，A是橢圓上位于x軸上方的動點．
（Ⅰ）當

AF1

•

AF2

取最小值時，求A點的坐標；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的情形下，是否存在以A為直角頂點的內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形？若存在，求出共有幾個；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設出點的坐標，利用數(shù)量積公式，結合配方法，即可求得結論；
（II）設AC的直線方程為y=kx+1（不妨設k＞0），代入橢圓的方程中，求出AB，AC的長，利用|AB|=|AC|，可得方程，考慮方程根的情況，即可得出結論．

解答：解：（Ⅰ）設A（x，y），F(xiàn)₁（-c，0）．F₂（c，0），則

AF1

•

AF2

=x²+y²-c²
因為A（x，y）在橢圓上，所以y2=1-

x2

a2

，
所以

AF1

•

AF2

=x2(1-

1

a2

)+1-c2
∵a＞1，∴當x=0時，

AF1

•

AF2

取得最小值，此時A點的坐標為A（0，1）．
（Ⅱ）設兩個頂點為B，C，顯然直線AC斜率存在，不妨設AC的直線方程為y=kx+1（不妨設k＞0），代入橢圓的方程中可得(

1

a2

+k2)x2+2kx=0，解得x₁=0（即A點的橫坐標），x₂=-

2k

1 a2 +k2

由弦長公式得：|AC|=

1+k2

•

2k

1 a2 +k2

（k＞0）
同理：|AB|=

1+ 1 k2

•

2 k

1 a2 + 1 k2

由|AB|=|AC|，即

1+k2

•

2k

1 a2 +k2

=

1+ 1 k2

•

2 k

1 a2 + 1 k2

，
化簡得：（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0．
考慮關于k的方程k²+（1-a²）k+1=0，其判別式△=（1-a²）²-4
（1）當△＞0時，a＞

3

，其兩根設為k₁，k₂，
由于k1+k2=a2-1＞0，k₁k₂=1＞0，故兩根必為正根，
顯然k₁≠1，k₂≠1，故關于k的方程（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0有三解，相應地，這樣的等腰直角三角形有三個．
（2）當△=0時，a=

3

，此時方程k²+（1-a²）k+1=0的解k=1，故方程（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0只有一解，相應地，這樣的等腰直角三角形只有一個．
（3）當△＜0時，顯然方程只有k=1這一個解，相應地，這樣的等腰直角三角形只有一個．
綜上：當a＞

3

時，這樣的等腰直角三角形有三個；當1＜a≤

3

時，這樣的等腰直角三角形只有一個．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．