Question

2．已知過雙曲線$\frac{x^2}{4}$-y²=1的右焦點作直線l與雙曲線交于A，B兩點，若有且僅存在三條直線使得|AB|=a，則實數(shù)a的取值范圍為{4}．

Answer 1

分析 利用實數(shù)a使得|AB|=a的直線l恰有3條，根據(jù)對稱性，其中有一條直線是x軸，|AB|=4，另兩條與右支相交，即可得到結(jié)論．

解答 解：雙曲線的兩個頂點之間的距離是4，A，B的橫坐標為$\sqrt{5}$，代入雙曲線方程，可得y=±$\frac{1}{2}$，故|AB|=1，
∵實數(shù)a使得|AB|=a的直線l恰有3條，
∴根據(jù)對稱性，其中有一條直線是x軸，|AB|=4，另兩條與右支相交，
綜上可知，|AB|=4時，有三條直線滿足題意，
∴a=4，
故答案為：{4}．

點評 本題考查直線與雙曲線之間的關(guān)系問題，本題解題的關(guān)鍵是判定有一條直線是x軸，|AB|=4，另兩條與右支相交．