Question

【題目】甲、乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者對(duì)本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為 ，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為 ，且各人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．用ξ表示甲隊(duì)的總得分．
（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求P（AB）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解法一：由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，且 ， ， ， ．

所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P

ξ的數(shù)學(xué)期望為 ．

解法二：根據(jù)題設(shè)可知， ，

因此ξ的分布列為 ，k=0，1，2，3．

因?yàn)? ，所以 ．

（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以AB=C∪D，且C，D互斥，又 = ， ，

由互斥事件的概率公式得 ．

解法二：用Ak表示“甲隊(duì)得k分”這一事件，用Bk表示“乙隊(duì)得k分”這一事件，k=0，1，2，3．

由于事件A3B0，A2B1為互斥事件，故有P（AB）=P（A3B0∪A2B1）=P（A3B0）+P（A2B1）．

由題設(shè)可知，事件A3與B0獨(dú)立，事件A2與B1獨(dú)立，因此P（AB）=P（A3B0）+P（A2B1）=P（A3）P（B0）+P（A2）P（B1）= ．

【解析】（1）解法一：由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，求出相對(duì)應(yīng)的概率列出分布列即可，解法二：根據(jù)題設(shè)可知， ξ ～ B ( 3 ， ),E ξ = 3 × = 2,（2）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以AB=C∪D，互斥事件的概率公式得 P ( A B )，解法二：用Ak表示“甲隊(duì)得k分”這一事件，用Bk表示“乙隊(duì)得k分”這一事件，可計(jì)算出概率.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱(chēng)表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列．