Question

17．設函數(shù)f（x）=xlnx，（x＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）設F（x）=ax²+f'（x），（a∈R），F(xiàn)（x）是否存在極值，若存在，請求出極值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求導函數(shù)f′（x），解不等式f′（x）＞0得出增區(qū)間，解不等式f′（x）＜0得出減區(qū)間；
（2）求F′（x），討論F′（x）=0的解的情況及F（x）的單調性得出結論．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）
求導函數(shù)，可得f′（x）=1+lnx
令f′（x）=1+lnx=0，可得x=$\frac{1}{e}$，
∴0＜x＜$\frac{1}{e}$時，f′（x）＜0，x＞$\frac{1}{e}$時，f′（x）＞0
∴函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）單調遞增，
（2）∴F（x）=ax²+f′（x）（x＞0），
∴F′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}+1}{x}$（x＞0）．
當a≥0時，F(xiàn)′（x）＞0恒成立，∴F（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴F（x）在（0，+∞）上無極值．
當a＜0時，令F′（x）=0得x=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$或x=-$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$（舍）．
∴當0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$時，F(xiàn)′（x）＞0，當x＞$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$時，F(xiàn)′（x）＜0，
∴F（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）上單調遞增，在（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）上單調遞減，
∴當x=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$時，F(xiàn)（x）取得極大值F（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）=$\frac{1}{2}$+ln $\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，無極小值，
綜上：當a≥0時，F(xiàn)（x）無極值，
當a＜0時，F(xiàn)（x）有極大值$\frac{1}{2}$+ln $\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，無極小值．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的導數(shù)的最值的應用，考查分析問題解決問題的能力，分類討論思想，屬于中檔題．