Question

【題目】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和滿足關(guān)系式.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列，使，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）數(shù)列滿足條件（2），求和：.

Answer 1

【答案】（1）見解析.

（2）.

（3）.

【解析】

（1）利用，求得數(shù)列的遞推式，整理得，進(jìn)而可推斷出時(shí)，數(shù)列成等比數(shù)列，然后分別求得和，驗(yàn)證亦符合，進(jìn)而可推斷出是一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列；（2）把 的解析式代入，進(jìn)而可知，判斷出是一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案；（3）由是等差數(shù)列．進(jìn)而可推斷出和也是首項(xiàng)分別為1和2，公差均為2的等差數(shù)列，進(jìn)而用分組法可求得結(jié)果．

（1）因?yàn)?/span> ①

②

，得，所以.

又由，得.又因?yàn)?/span>，所以.

所以是一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.

（2）由，得

.

所以是一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.于是.

（3）由，可知和是首項(xiàng)分別為1和2，公差均為2的等差數(shù)列，于是，

所以

.