已知：0＜α＜
π
2
，0＜β＜
π
2
，且sin（α+β）=2sinα，求證：α＜β．
分析：方法一（反證法），利用條件，引出與0＜α＜
π
2
，0＜β＜
π
2
，矛盾，即可得出結(jié)論；
方法二（綜合法）由已知sinαcosβ+cosαsinβ=2sinα，從而可得sinα＜sinβ，即可得出結(jié)論．
解答：證明：方法一（反證法）
假設(shè)α=β（且均為銳角），由于sin（α+β）=2sinα，
∴sinαcosβ+cosαsinβ=2sinα
∴2sinαcosα=2sinα
∴cos α=1，
這與0＜α＜
π
2
，相矛盾，故α≠β．
假設(shè)α＞β，∵sinαcosβ+cosαsinβ=2sin α．
∴cosαsinβ=sinα（2-cos β），即
sinα
sinβ
=
cosα
2-cosβ
．
由于
π
2
＞α＞β＞0，易知上式左邊大于1，而右邊小于1，不能成立，故α≤β．
因?yàn)棣痢佴虑姚痢堞拢荒苁铅粒鸡拢?br />方法二（綜合法）由已知sinαcosβ+cosαsinβ=2sinα，
∵0＜α＜
π
2
，0＜β＜
π
2
，
∴0＜cosα＜1，0＜cosβ＜1．
∴2sinα=sinαcosβ+cosαsinβ＜sinα+sinβ，
即sinα＜sinβ，∴α＜β．
點(diǎn)評：本題考查三角不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f(x)=
2x
1-2x
，x≠
1
2
-1，x=
1
2
的圖象上的任意兩點(diǎn)（可以重合），點(diǎn)M在直線x=
1
2
上，且
AM
=
MB
．
（Ⅰ）求x1+x2的值及y1+y2的值
（Ⅱ）已知S1=0，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n-1
n
)，求Sn；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)an=2Sn，Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若存在正整數(shù)c、m，使得不等式
Tm-c
Tm+1-c
＜
1
2
成立，求c和m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，則M∪N=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f(x)=
2x
1-2x
，x≠
1
2
-1，x=
1
2
的圖象上的任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M在直線x=
1
2
上，且
AM
=
MB
．
（1）求x1+x2的值及y1+y2的值；
（2）已知S1=0，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n-1
n
)，設(shè)an=2Sn，Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若存在正整數(shù)c，m，使得不等式
Tm-c
Tm+1-c
＜
1
2
成立，求c和m的值．
（3）在（2）的條件下，設(shè)bn=31-Sn，求所有可能的乘積bi•bj（1≤i≤j≤n）的和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定集合A、B，定義：A*B={ x|x∈A或x∈B，但x∉A∩B}，又已知A={0，1，2}，B={1，2，3}，用列舉法寫出A*B=
{0，3}
{0，3}
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A={0，1，2}，B={0，a2，2}，若A=B，則a=
±1
±1
．

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同步練習(xí)冊答案