Question

16．已知函數f（x）=$\frac{{{x^2}+ax+b}}{x}$（x≠0）是奇函數，且滿足f（1）=f（4）．
（1）求實數a，b的值；
（2）若x∈[2，+∞），函數f（x）的圖象上是否存在不同的兩點，使過這兩點的直線平行于軸，請說明理由！
（3）是否存在實數同時滿足以下兩個條件：①不等式f（x）+$\frac{k}{2}$＞0對x∈（0，+∞）恒成立，②方程f（x）=k在x∈[-8，-1]上有解．若存在，求出實數的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用f（1）=f（4）求出b的值，利用$f（x）=\frac{{{x^2}+ax+b}}{x}（x≠0）$為奇函數，得f（x）+f（-x）=0對x≠0恒成立，求出a的值；
（2）根據函數單調性，即可得出結論；
（3）分別求出滿足兩個條件的實數k的取值范圍，即可得出結論．

解答 解：（1）由f（1）=f（4）得$1+a+b=\frac{16+4a+b}{4}$，解得b=4．…（2分）
由$f（x）=\frac{{{x^2}+ax+b}}{x}（x≠0）$為奇函數，得f（x）+f（-x）=0對x≠0恒成立，
即$\frac{{{x^2}+ax+b}}{x}+\frac{{{x^2}-ax+b}}{-x}=2a=0$，所以a=0．…（4分）
（2）由（1）知，$f（x）=x+\frac{4}{x}$．
任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{x_1}+\frac{4}{x_1}）-（{x_2}+\frac{4}{x_2}）=（{x_1}-{x_2}）\frac{{{x_1}{x_2}-4}}{{{x_1}{x_2}}}$，…（6分）
∵2≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-4＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），
所以，函數f（x）在區(qū)間[2，+∞）單調遞增．
所以在區(qū)間[2，+∞）任取x₁≠x₂則必有y₁≠y₂故函數f（x）的圖象在區(qū)間[2，+∞）不存在不同的兩點使過兩點的直線平行于x軸．…（9分）
（3）對于條件①：由（2）可知函數f（x）在x∈（0，+∞）上有最小值f（2）=4．
故若$f（x）+\frac{k}{2}＞0$對x∈（0，+∞）恒成立，則需$f{（x）_{min}}＞-\frac{k}{2}$，則$4＞-\frac{k}{2}$，∴k＞-8．…（10分）
對于條件②：由（2）可知函數f（x）在（-∞，-2）單調遞增，在[-2，0）單調遞減，
∴函數f（x）在[-8，-2]單調遞增，在[-2，-1]單調遞減，又$f（{-8}）=-\frac{17}{2}$，f（-2）=-4，f（-1）=-5，所以函數f（x）在[-8，-1]上的值域為$[{-\frac{17}{2}，-4}]$，
若方程f（x）=k在[-8，-1]有解，則需$-\frac{17}{2}≤k≤-4$．…（12分）
若同時滿足條件①②，則需$\left\{\begin{array}{l}-8＜k\\-\frac{17}{2}≤k≤-4\end{array}\right.$，所以-8＜k≤-4．
答：當-8＜k≤-4時，條件①②同時滿足．…（14分）

點評 本題考查函數的性質，考查函數的單調性與值域，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．