Question

19．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，則AC與平面BDC₁所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 由于A₁C⊥平面BDC₁，故$\overrightarrow{{A}_{1}C}$是平面BDC₁的一個法向量，建立空間直角坐標系，求出$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$的坐標，設所求的線面角為α，則sinα=cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}C}$，$\overrightarrow{AC}$＞，從而計算出cosα．

解答 解：以A₁為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵A₁A⊥平面ABCD，∴A₁A⊥BD，
又BD⊥AC，A₁A與AC為平面A₁AC內的相交直線，
∴BD⊥平面A₁AC，
∴BD⊥A₁C，
同理可證：BC₁⊥A₁C，
∴A₁C⊥平面BDC₁，∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$是平面BDC₁的一個法向量，
設正方體棱長為1，
則$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（1，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{AC}$=2，|$\overrightarrow{{A}_{1}C}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}C}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
設AC與平面BDC₁所成角為α，則sinα=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴cosα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了線面角的計算，正方體的結構特征，屬于中檔題．