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13.如圖,已知平面α∩平面β=l,α⊥β,A,B是直線l上的兩點(diǎn),C,D是平面β內(nèi)的兩點(diǎn),且DA⊥l,CB⊥l,DA=4,AB=6,CB=8,P是平面α內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),使得直線CP,DP與平面α所成角相等,則三角形PAB面積的最大值為12.

分析 由面面垂直的性質(zhì)可得AD⊥PA,BC⊥PB,由∠APD=∠BPC可知PB=2PA,作PM⊥AB,垂足為M,結(jié)合三角形的面積公式轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)進(jìn)行求解即可.

解答 解:由題意平面α⊥平面β,A、B是平面α與平面β的交線上的兩個(gè)定點(diǎn),DA?β,CB?β,且DA⊥α,CB⊥α,
∴△PAD與△PBC是直角三角形,又∠APD=∠BPC,
∴△PAD∽△PBC,又AD=4,BC=8,
∴PB=2PA
作PM⊥AB,垂足為M,令A(yù)M=t∈R,
在兩個(gè)Rt△PAM與Rt△PBM中,PM是公共邊及PB=2PA
∴PA2-t2=4PA2-(6-t)2
解得PA2=12-4t
∴PM=124tt2
∴S=12×AB×PM=12×6×124tt2=3124tt2
=316t+22≤12.
即三角形面積的最大值為12.
故答案為:12

點(diǎn)評(píng) 本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,根據(jù)線面角的定義結(jié)合三角形的面積公式,設(shè)出變量,轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵.

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