Question

13．如圖，已知平面α∩平面β=l，α⊥β，A，B是直線l上的兩點，C，D是平面β內(nèi)的兩點，且DA⊥l，CB⊥l，DA=4，AB=6，CB=8，P是平面α內(nèi)的一動點，使得直線CP，DP與平面α所成角相等，則三角形PAB面積的最大值為12．

Answer 1

分析 由面面垂直的性質(zhì)可得AD⊥PA，BC⊥PB，由∠APD=∠BPC可知PB=2PA，作PM⊥AB，垂足為M，結合三角形的面積公式轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)進行求解即可．

解答 解：由題意平面α⊥平面β，A、B是平面α與平面β的交線上的兩個定點，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，
∴△PAD與△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，
∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，
∴PB=2PA
作PM⊥AB，垂足為M，令AM=t∈R，
在兩個Rt△PAM與Rt△PBM中，PM是公共邊及PB=2PA
∴PA²-t²=4PA²-（6-t）²
解得PA²=12-4t
∴PM=$\sqrt{12-4t-{t}^{2}}$
∴S=$\frac{1}{2}$×AB×PM=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{12-4t-{t}^{2}}$=3$\sqrt{12-4t-{t}^{2}}$
=3$\sqrt{16-{（t+2）}^{2}}$≤12．
即三角形面積的最大值為12．
故答案為：12

點評 本題考查與二面角有關的立體幾何綜合題，根據(jù)線面角的定義結合三角形的面積公式，設出變量，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是解決本題的關鍵．